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La matematica oltrepassa l’immaginazione

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Siete bravi con l’immaginazione? Alcuni di noi più di altri, ma certamente tutti da bambini, abbiamo cercato di riconoscere oggetti e animali nelle nuvole e almeno una volta abbiamo disegnato forme surreali usando strani colori.

Tuttavia queste forme non sono altro che frammentazione e ricomposizione di linee già viste e non v’è colore che non discenda dalla terna primaria.

Ma è allora questo il massimo che si può immaginare?

Mai pensato che il più grande sforzo di immaginazione possa essere stato fatto dalla matematica?

Partiamo dalle basi. Il primo impatto con la matematica si ha alle elementari, i bambini imparano a contare con le più semplici operazioni:  addizioni e tabelline. Ma quanti, anche a distanza di anni, sanno che per contare il numero di arance dentro una confezione è anzitutto necessario creare una corrispondenza biunivoca tra i numeri e le arance?

                                                   1     ————> 

                                                   2     ————>           

                                                   3     ————>                  

                                                   …..

                                                   n     ————>                     …..   

 

E aspettate perché per dire che 3 arance * 2 confezioni = 6 arance, bisogna prima definire l’operazione moltiplicazione come tale. Pensate che sia troppo pedante? Immaginiamo di non badare a tale definizione allora. Cosa succederebbe?

a=b

a*a=b*a

a²=b*a

a²-b²=b*a-b²

(a+b) (a-b)=b (a-b)

                                a+b=b        ma poiché a=b

2a=a

2=1

Il risultato è tutt’altro che assurdo (notare che nel 3⁰ passaggio abbiamo diviso per 0). La matematica infatti si basa su assiomi e definizioni da noi scelte e tutte le regole che ne derivano dipendono da esse. Nel momento in cui tali regole non vengono rispettate si deforma la realtà che andiamo a creare. L’esempio ci mostra come in un mondo parallelo in cui la divisione per zero fosse possibile (a+b)(a-b)=b(a-b) allora 2=1. E’ quindi, in un certo senso, la matematica che fa la realtà e non viceversa.  Essa è capace di descrivere tutto quello che vuole, anche quello che ci sembra fantascientifico.

Ma l’immaginazione matematica non finisce qui. Già gli antichi filosofi si erano chiesti se l’universo fosse finito o infinito e, nel caso, cosa fosse questo infinito. Noi ancora non sappiamo dare una risposta certa a tale quesito;  in ogni caso la matematica già sa che l’infinito esiste ed è in grado di formalizzarlo in modo rigoroso. Pensiamo infatti all’infinità dei numeri naturali N:

0 1 2 3 4 5 …… ∞.

La matematica riesce inoltre a dimostrare che esistono insiemi infiniti che hanno cardinalità maggiore di altri insiemi, nonostante essi siano a loro volta infiniti (Teorema di Cantor)! Per esempio un piano contiene tanti punti quanti ne contiene una sola retta ma l’infinito di questi  punti  è maggiore dell’infinito dato da tutti i numeri interi (-… -3 -2 -1 0 1 2 3 …).

E si potrebbe così continuare mostrando la meravigliosa intuitività che si cela dietro all’insieme dei numeri immaginari C. Solo il loro nome ne è già una conferma.

I non matematici, che hanno letto fin qui, possono magari restare diffidenti e affondare nell’errata deduzione che la matematica quindi non abbia risvolti pratici. Ma questo è tutt’altro che vero.

Poniamoci in un caso più concreto: le dimensioni. Tutti sanno di vivere in un mondo tridimensionale, dove ogni lato è bidimensionale e formato da segmenti di dimensione 1.

 

cubo         =        quadrato    * 6         =     lato     *12

Ma in dimensione 4, dove ogni lato è tridimensionale, chi saprebbe immaginarsi un  oggetto? E figuriamoci in dimensione n! Beh la matematica ci riesce e lo fa egregiamente.

 

di Sofia Staderini